群作用： 给定一个群 ( G ) 和一个流形 ( M )，群 ( G ) 的一个作用定义为一个映射 ( \Phi: G \times M \rightarrow M )，满足以下条件：
单位元作用：对于所有 ( m \in M )，有 ( \Phi(e, m) = m )，其中 ( e ) 是群 ( G ) 的单位元。
封闭性：对于所有 ( g_1, g_2 \in G ) 和 ( m \in M )，有 ( \Phi(g_1g_2, m) = \Phi(g_1, \Phi(g_2, m)) )。
光滑性：映射 ( \Phi ) 是平滑的。
等变性： 流形 ( M ) 是 ( G ) 的等变流形，如果对于所有 ( g \in G ) 和 ( m \in M )，有 ( \Phi_g: M \rightarrow M ) 是一个光滑映射，并且保持流形的拓扑和微分结构。
稳定子群： 对于 ( M ) 中的每个点 ( m )，其稳定子群 ( G_m ) 定义为所有作用在 ( m ) 尚且保持 ( m ) 固定的群元素的集合： [ G_m = { g \in G | \Phi(g, m) = m } ]
轨道空间： 对于 ( M ) 中的每个点 ( m )，其轨道 ( G \cdot m ) 定义为所有由 ( G ) 作用在 ( m ) 上得到的点的集合： [ G \cdot m = { \Phi(g, m) | g \in G } ]
商空间： 如果 ( G ) 对 ( M ) 的作用是自由的（即稳定子群 ( G_m ) 仅包含单位元 ( e )），那么可以构造上空间 ( M/G )，它是由 ( G ) 的轨道分类的空间。