这里的积分是沿着曲线C进行的，而f(z)是一个在区域D内解析的函数。柯西定理的证明通常依赖于复变函数的幂级数展开以及留数定理。下面给出一个简化的证明概要：
局部解析性： 首先，我们可以将闭合曲线C划分为许多小的子曲线C_i，每个子曲线都包含在一个足够小的圆盘内，在这个圆盘内，f(z)可以用其在该圆盘中心的泰勒级数展开来表示：
f(z) = Σ [a_n (z - z_0)^n]
其中，z_0是子曲线C_i的圆心，a_n是对应的系数。
积分线变形： 由于f(z)在整个区域D内解析，我们可以将曲线C变形为一系列半径趋于零的圆圈的并集，而不改变积分的值。这是因为积分路径的选择对于解析函数的积分来说是无关紧要的（路径独立性）。
留数定理： 根据留数定理，一个函数在一个封闭区域内的积分为该区域内所有孤立奇点的留数之和。由于f(z)在区域D内解析，它在D内没有奇点，因此其留数为零。
积分计算： 由于曲线C可以变形为一个圆，其半径趋近于零，且f(z)在该圆内的泰勒级数展开的每一项都是分析的，我们可以计算出沿着这个圆的积分为零。因此，沿着整个曲线C的积分也为零：
∮C f(z) dz = 0
这就完成了柯西定理的证明概要。需要注意的是，这个证明是高度简化的，实际的证明需要更精细的数学论证，包括对函数解析性的严格定义以及积分路径变形的详细讨论。
也就是说：
任意一个封闭曲线C或者说封闭曲面V，它们的积分都为零→0，具体举个例子哈：
让我们通过一个具体的例子来展示如何应用柯西定理解决实际问题。