复合运算：对于任意三个对象 ( A )、( B ) 和 ( C )，存在一个复合运算，使得如果 ( f \in Mor(A, B) ) 且 ( g \in Mor(B, C) )，那么 ( g \circ f ) 是一个从 ( A ) 到 ( C ) 的态度。
单位元：对于范畴 ( C ) 中的每个对象 ( A )，存在一个单位态射 ( id_A )，使得对于任意态射 ( f \in Mor(A, B) ) 和 ( g \in Mor(B, A) )，有 ( f \circ id_A = f ) 和 ( id_B \circ f = f )。
结合律：态射的复合满足结合律，即对于任意四个对象 ( A )、( B )、( C ) 和 ( D )，以及态射 ( f \in Mor(A, B) )、( g \in Mor(B, C) ) 和 ( h \in Mor(C, D) )，有 ( (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f) )。
范畴论的一个重要概念是函子（functor），它是一种映射，将一个范畴映射到另一个范畴，同时保持范畴的结构。函子可以用来比较不同范畴之间的相似性和差异。
另一个重要的概念是自然变换（natural transformation），它描述了两个函子之间的关系。自然变换是范畴论中的一种基本构造，它允许我们在不同的数学结构之间建立联系。
范畴论在数学中的应用非常广泛，包括代数几何、拓扑学、逻辑学、计算机科学等领域。它提供了一种强大的语言和工具，帮助数学家们理解和发现不同数学领域之间的深层联系。
举个例子(例子)哈:范畴论与群论的关系。
范畴论的一个实际例子可以从群论中找到。群论是研究群（一种代数结构）的数学分支，而范畴论则提供了一种更抽象的框架来研究群和其他数学结构之间的关系。
假设我们有两个群 ( G ) 和 ( H )，以及它们之间的同态（homomorphism）( f: G \rightarrow H )。在群论中，同态是一个映射，它保持群的运算结构，即对于 ( G ) 中的任意元素 ( a ) 和 ( b )，有 ( f(ab) = f(a)f(b) )。