这里，( \oint_{\partial D} ) 表示沿 ( D ) 的边界 ( \partial D ) 的曲线积分，( \iint_{D} ) 表示在区域 ( D ) 上的二重积分，( dA ) 是面积元素，( dx ) 和 ( dy ) 是曲线上的微分元素。
格林公式的推导通常涉及将区域 ( D ) 分割成小的矩形区域，并对每个小矩形应用高斯散度定理（Gauss's divergence theorem），然后将所有小矩形的贡献相加。下面是一个简化的推导过程：
将区域 ( D ) 分割：将 ( D ) 分割成许多小的矩形区域 ( R_{ij} )，每个矩形的边长分别为 ( \Delta x ) 和 ( \Delta y )。
应用高斯散度定理：对每个小矩形 ( R_{ij} )，应用高斯散度定理，得到：
[ \oint_{\partial R_{ij}} (P,dx + Q,dy) = \iint_{R_{ij}} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA ]
累加所有矩形的贡献：将所有小矩形的上述等式相加，注意到相邻矩形的公共边上的曲线积分会相互抵消，因为它们的定向相反。
取极限：当矩形的尺寸趋近于零时，即 ( \Delta x \to 0 ) 和 ( \Delta y \to 0 )，累加的结果就变成了整个区域 ( D ) 上的二重积分。
得到格林公式：最终，我们得到格林公式的形式：如上面的公式一。
这个推导过程忽略了细节，实际上在应用高斯散度定理时需要考虑向量场的散度，并且在累加过程中需要仔细处理边界上的积分。格林公式的完整和严格的证明通常涉及更多的数学工具和技术，包括多元微积分的知识和对曲线积分的深入理解。