|e^z+ e^(-z)|≤ 2cosh(|z|)
其中，e是自然对数的底，cosh是双曲余弦函数。
我们的解法如下：首先，利用欧拉公式e^(ix)= cos(x)+ isin(x)，我们可以将z表示为x+ iy的形式。然后：
e^z+ e^(-z)= e^(x+iy)+ e^(-x-iy)
= e^x(cos(y)+ isin(y))+ e^(-x)(cos(-y)+ isin(-y))
=(e^x+ e^(-x))cos(y)+ i(e^x- e^(-x))sin(y)
利用双曲函数的定义，我们可以将其简化为：
e^z+ e^(-z)= 2cosh(x)cos(y)+ 2isinh(x)sin(y)
取模得到：
|e^z+ e^(-z)|= 2√(cosh^2(x)cos^2(y)+ sinh^2(x)sin^2(y))
应用柯西-施瓦茨不等式，我们可以得到：
|e^z+ e^(-z)|≤ 2√(cosh^2(x)+ sinh^2(x))= 2cosh(|x|)
由于|z|≤ 1，我们有|x|≤|z|。而cosh是单调递增函数，所以：
2cosh(|x|)≤ 2cosh(|z|)。"
"......最后，我们得出的结论是，"黄国栋用充满戏剧性的语气说道，"因此，我们证明了不等式|e^z+ e^(-z)|≤ 2cosh(|z|)成立。"
说完，黄国栋环视四周，脸上带着胜券在握的笑容。他期待着看到老师们赞赏的目光，甚至已经在心里想象着被选中的场景。
然而，出乎他意料的是，老师们并没有立即给出评价。乐组长只是点了点头，然后问道："还有谁要补充的吗？"
这个问题让黄国栋愣了一下。
补充？还需要补充吗？他不是已经把一切都说得很清楚了吗？
就在这时，一直保持沉默的周群和林诗雨突然抬起了头。两人对视一眼，周群缓缓开口："老师，我们有不同的意见。"
这句话如同一颗炸弹，瞬间在现场引爆。所有人的目光都集中在了周群和林诗雨身上，包括那些原本还在走神的学生。